目标公式：

$$E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2,E_{\text{pot}}=mgh,W_H=\frac{1}{2}k{x}^2,P=\frac{W}{t},1\text{kWh}=3,6\cdot {10}^6\text{J}$$

适用范围/假设： 加速用恒力（即 $a=\text{konst.}$）、从静止出发（$v_0=0$）；$E_{\text{pot}}=mgh$ 仅在均匀重力场（地表附近、$h$ 小，$g$ 视为常量）成立；弹簧能仅在弹性范围（胡克定律线性区）成立。

★ 真题相关： $E_{\text{kin}}$ 与 $E_{\text{pot}}$ 的推导在真题中以原话 „Ableitungen durchführen" 被要求过（主题 8 真题卷）。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$	Arbeit（功）	✅ S. 2 („Arbeit")
$F=m\cdot a$	Newton'sches Axiom (Aktionsprinzip)	✅ S. 2 („Newton'sches Axiom")
$F=m\cdot g$	Schwerkraft (nahe Erdoberfläche)（重力）	✅ S. 2 („Schwerkraft")
$F=-k\cdot \mathrm{\Delta }x$	Hooke-Gesetz / Federkraft（胡克定律）	✅ S. 2 („Hooke-Gesetz")
$E_{\text{kin}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{2}}$	Kinetische Energie（动能）——目标公式本身在册	✅ S. 2 („Kinetische Energie")
$E_{\text{pot}}=mgh$	Potentielle Energie（势能）——目标公式本身在册	✅ S. 2 („Potentielle Energie")
$E_{\text{elast}}={\displaystyle \frac{k{x}^2}{2}}$	Federenergie（弹簧能）——目标公式本身在册	✅ S. 2 („Federenergie")
$P={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}}$	Leistung（功率）	✅ S. 2 („Leistung")
$v=at$，$s=\frac{1}{2}a{t}^2$	匀加速运动方程	❌ 不在 Formelnheft——见 [[Kinematik
kWh 换算	能量单位换算	❌ 不在 Formelnheft——考场需默写 $1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}$

推导（Schritt für Schritt）

A）★ 动能 $E_{\text{kin}}=\frac{1}{2}m{v}^2$（五步加速功推导）

1. 思路（定义）。 $E_{\text{kin}}$ 定义为：把质量 $m$ 的物体从静止加速到速度 $v$ 所需的功。设用恒力 $F$ 加速（⇒ $a=\text{konst.}$，匀加速运动的全部公式可用）。
2. 功的定义（Formelnheft S. 2）。力与位移平行（$\cos 0°=1$），标量积退化为乘积：$$W=F\cdot s$$
3. 代入力（牛顿第二定律，S. 2）：$F=m\cdot a$，故$$W=m\cdot a\cdot s$$
4. 代入路程（匀加速、从静止：$s=\frac{1}{2}a{t}^2$，见 H01 B）：$$W=m\cdot a\cdot \frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}m(at{)}^2$$（最后一步把 $a\cdot a{t}^2$ 写成 $(at{)}^2$——纯代数整理。）
5. 认出速度（匀加速、从静止：$v=at$，见 H01 A）。把 $(at)$ 替换为 $v$：$$\boxed{{\displaystyle W=\frac{1}{2}m{v}^2=E_{\text{kin}}}}$$每一步的理由：① 用加速功定义动能；② 功的定义；③ 牛顿第二定律；④+⑤ 匀加速运动学。注意 $E_{\text{kin}}$ 通过 $v$ 依赖参考系（是相对量）。

B）★ 势能 $E_{\text{pot}}=mgh$（举升功）

1. 思路（定义）。 $E_{\text{pot}}$ 定义为：把物体匀速举高 $h$ 所需的举升功。匀速 ⇒ 举力恰好抵消重力，$F=F_G$（若举力更大，多余的功会变成动能，那就不纯是「位置能量」了）。
2. 代入重力（Formelnheft S. 2，地表附近）：$F=F_G=m\cdot g$。近似说明： 这里把 $g$ 当常量——仅当 $h\ll R_E$ 时允许（地表到约 40 km 高空 $g$ 只变化约 1 %）。
3. 功的定义（S. 2）。力与位移（竖直向上）平行，路程 $s=h$：$$W=F\cdot s=mg\cdot h$$
4. 结论。 这份功以位置能量的形式储存：$$\boxed{{\displaystyle E_{\text{pot}}=mgh}}$$零点（$h=0$ 取在哪）可自由选取——物理上可测的只有能量差。大距离（航天）须改用 $E_{\text{pot}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}$，见 H06。

C）弹簧能 $W_H=\frac{1}{2}k{x}^2$（F-x 图三角形面积）

1. 指出困难。 拉伸弹簧时力不恒定：由胡克定律（S. 2），所需拉力随伸长量线性增长，$F(x^{\prime })=k\cdot x^{\prime }$（这里取大小；负号只表示弹簧力方向与形变相反）。所以不能直接用 $W=F\cdot s$。
2. 功 = F-x 图线下面积。 与 H01 中「路程 = v-t 图面积」同理：把整个拉伸过程切成许多小段，每小段内力近似恒定、做功 $\approx F(x^{\prime })\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }$，求和即图线下面积。此处取极限（小段宽度 $\to 0$），因为只有这样「近似恒定」才严格成立。
3. 算面积。 $F(x^{\prime })=k{x}^{\prime }$ 是过原点的直线，从 $0$ 拉到 $x$ 的图线下面积是一个三角形：宽 $x$、高 $F(x)=kx$：$$W_H=\frac{1}{2}\cdot x\cdot kx$$
4. 整理：$$\boxed{{\displaystyle W_H=\frac{1}{2}k{x}^2}}$$这份功以弹性势能储存在弹簧里（Formelnheft 写作 $E_{\text{elast}}=\frac{k{x}^2}{2}$，同一公式）。

D）功率 $P=W/t$ 与 kWh 换算

1. 定义（Formelnheft S. 2）：功率 = 单位时间做的功：$$P=\frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}\text{（过程均匀时简写 }P=\frac{W}{t}\text{）}$$单位：$1\text{W}=1\text{J/s}$。
2. 移项得能量。 两边乘 $t$：$W=P\cdot t$——「功率 × 时间 = 能量」。
3. kWh 换算（独立验算）。 kWh 是能量单位，不是功率单位：$$1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3600000\text{J}=3,6\cdot {10}^6\text{J}✓$$

变量表

符号	含义	SI 单位
$W$，$W_H$	功；拉伸弹簧做的功	J
$E_{\text{kin}}$	动能	J
$E_{\text{pot}}$	势能（均匀场）	J
$F$	力（A：加速力；B：举力 $=F_G$；C：拉力 $=k{x}^{\prime }$）	N
$F_G$	重力	N
$m$	质量	kg
$a$	加速度（恒定）	m/s²
$v$	末速度	m/s
$s$	路程	m
$t$	时间	s
$g$	重力加速度 $=\mathrm{9,807}$ m/s²（Formelnheft S. 1；讲义常用 $9,81$）	m/s²
$h$	举升高度	m
$k$	弹簧常数	N/m
$x$，$x^{\prime }$	伸长量（末值；过程变量）	m
$P$	功率	W

关联

• 所用运动学公式 $v=at$、$s=\frac{1}{2}a{t}^2$ 的推导 → H01
• $E_{\text{kin}}$、$E_{\text{pot}}$ 联手出场（能量守恒应用）→ H03
• 大距离势能（$-GMm/r$、Gravitationsenergie）→ H06
• 讲义出处：主题 8 §8.5（五步推导、势能、功率、kWh）、主题 8 §8.4（弹簧能三角形面积）